位置矢量¶

位置矢量¶

基本概念¶

位置矢量简称“位矢”，是用来描述空间中的物体或质点相对于参考点位置的矢量

位矢通常用符号 \(\vec{r}\) 表示，其国际标准单位为 米 \(\mr{\rb{m}}\)

位矢由坐标原点指向目标点。如下图所示，质点 \(P\) 的位矢 \(\vec{r}\) 从原点 \(O\) 指向质点 \(P\)，即 \(\overrightarrow{OP}\)

指向点 \(P\) 的位置矢量 \(\vec{r}\)

直角坐标系中的表示¶

质点 \(P\) 在直角坐标系中的位矢可以表示为

\[

\vec{r} = x \,\vec{i} + y \,\vec{j} + z \,\vec{k}

\]

其中，\(x\)、\(y\) 和 \(z\) 分别为点 \(P\) 在直角坐标系中的坐标，也是 \(\vec{r}\) 沿 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 方向的分量

位置矢量的大小和方向¶

大小¶

位矢 \(\vec{r}\) 的大小用 \(\abs{\vec{r}\tm}\) 表示，通常也写为标量 \(r\)，表示质点 \(P\) 到原点 \(O\) 的距离

在直角坐标系中

\[

r = \abs{\vec{r}\tm} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

\]

方向¶

如下图所示，位置矢量 \(\vec{r}\) 的方向角分别为 \(\alpha\)、\(\beta\) 和 \(\gamma\)

位置矢量 \(\vec{r}\) 的方向角 \(\alpha\)、\(\beta\) 和 \(\gamma\)

则位置矢量 \(\vec{r}\) 的方向余弦分别为

\[

\cos\alpha = \frac{x}{r}, \

\cos\beta = \frac{y}{r}, \

\cos\gamma = \frac{z}{r}

\]

由于方向角的范围为 \(\sb{0,\pi}\)，因此

\[

\alpha = \arccos \rb{\frac{x}{r}},\

\beta = \arccos \rb{\frac{y}{r}},\

\gamma = \arccos \rb{\frac{z}{r}}

\]

\[

\begin{gather}

\alpha = \arccos \rb{\frac{x}{r}},\

\beta = \arccos \rb{\frac{y}{r}} \\

\gamma = \arccos \rb{\frac{z}{r}}

\end{gather}

\]